命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×U に対して |f(t, x)| ≦ M となる。

2) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

>>458より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

このとき、J×V から U への写像 (t, x) → g(t, x) は連続かつ
x に関して一様連続である。

証明
>>460より、任意の t ∈ J と任意の x, y ∈ V に対して
|g(t, x) - g(t, y)| ≦ exp(C|t - t_0|)|x - y|

(t, x) ∈ J×V を任意に固定する。
t の関数 g(t, x) は連続であるから、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり
s ∈ J かつ |t - s| ＜ δ であれば |g(t, x) - g(s, x)| ＜ ε

(続く)