補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×U に対して |f(t, x)| ≦ M となる。

2) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

J_1 と J_2 を t_0 を含む開区間で I に含まれるとする。
各 i = 1, 2 に対して g_i: J_i → U は次の条件を満たすとする。

a) g_i(t_0) = x_0
b) g_i(t) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J_i における解である。

このとき、J = J_1 ∩ J_2 とおくと
任意の t ∈ J に対して g_1(t) = g_2(t) となる。

証明
g_1(s) ≠ g_2(s) となる s ∈ J があるとして矛盾を導く。
s ＞ t_0 として一般性を失わない。
C = {t ∈ J; t ＞ t_0 かつ g_1(t) ≠ g_2(t)} とおく。
s ∈ C だから C は空でない。
t_1 = inf C とおく。

(続く)