補題(平均値の不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
K を U に含まれるコンパクトな凸集合とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ K} とおく。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。

このとき、任意の x, y ∈ K に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|

証明
>>20より
f(y) - f(x) = (∫[0, 1] df(1 - t)x + ty) dt) (y - x)

よって、

|f(y) - f(x)| ≦ |∫[0, 1] df(1 - t)x + ty) dt||y - x|
≦ (∫[0, 1] |df(1 - t)x + ty)| dt) |y - x|
≦ M |y - x|
証明終