命題(>>445の改良)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上の有限次元ノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
f: I×U×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U×V 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x, μ) ∈ I×U×V に対して
|f(t, x, μ)| ≦ M となる。

2) C ＞ 0 があり、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ C|x - y| となる。

3) f(t, x, μ) は μ に関して一様連続である。
即ち、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら任意の (t, x) ∈ I×U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)| ＜ ε となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
x_0 ∈ U であるから U(x_0, r) ⊂ U となる r ＞ 0 がある。
ここで、U(x_0, r) = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r} である。

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり
連続写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。
d) g(t, μ) は μ に関して一様連続である。
(続く)