補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
F を K 上の有限次元ノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
f: I×U×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U×V 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x, μ) ∈ I×U×V に対して
|f(t, x, μ)| ≦ M となる。

2) C ＞ 0 があり、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ C|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

J_1 と J_2 を t_0 を含む開区間で I に含まれるとする。

g_i: (J_i)×V → U (i = 1, 2) を
各 i =1, 2 に対して g_i は次の条件を満たすとする。

a) 任意の μ ∈ V に対して g_i(t_0, μ) = x_0
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g_i(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J_i における解である。

このとき、J = J_1 ∩ J_2 とおくと
任意の (t, μ) ∈ J×V に対して g_1(t, μ) = g_2(t, μ) となる。

(続く)