補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×U に対して |f(t, x)| ≦ M となる。

2) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
x_0 ∈ U であるから U(x_0, r) ⊂ U となる r ＞ 0 がある。
ここで、U(x_0, r) = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r} である。

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり
連続写像 g: J → E で次の条件を満たすものが一意に存在する。

a) g(J) ⊂ U(x_0, r)
b) g(t_0) = x_0
c) 写像 t → g(t) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J における解である。

証明
I(t_0, a) ⊂ I となる a ＞ 0 をとる。
ここで、I(t_0, a) = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a} である。
I = R のときは a = +∞ とする。

(続く)