>>439の続き

3) より任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら任意の h ∈ B に対して、
|T(h, μ) - T(h, ν)| = |∫[t_0, t] (f(s, h(s), μ) - f(s, h(s), ν)) ds|
≦ ε|t - t_0| = εd

よって、任意の h ∈ B に対して、μ → T(h, μ) は連続である。

1) より任意の (t, h, μ) ∈ J×B×V に対して、
|T(h, μ)(t) - x_0| = |∫[t_0, t] f(s, h(s), μ) ds|
≦ M|t - t_0| ＜ Md ＜ (1 - Cd)r

よって、任意の (h, μ) ∈ B×V に対して、
|T(h, μ) - x_0| ＜ (1 - Cd)r

以上から T(h, μ) は>>436の条件 1), 2), 3) を満たす。
よって、任意の μ ∈ V に対して
T(h(μ), μ) = h(μ) となる h(μ) ∈ B が一意に存在し、μ → h(μ) は
V から B への連続写像である。

g: J×V → E を g(t, μ) = h(μ)(t) により定義する。
>>437より g は連続である。
明らかに g が求めるものである。
証明終