補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。

このとき、GL(E) は L(E, E) の開集合である。

証明
T を GL(E) の任意の元とする。
S ∈ L(E, E) で |S - T| ＜ 1/|T^(-1)| とする。

|T^(-1)(T - S)| ≦ |T^(-1)||S - T| ＜ 1 だから
>>43より、I - T^(-1)(T - S) ∈ GL(E) である。

S = T(I - T^(-1)(T - S)) だから S ∈ GL(E) である。
よって、GL(E) は L(E, E) の開集合である。
証明終