>>438の証明

I(t_0, a) ⊂ I となる a ＞ 0 をとる。
ここで、I(t_0, a) = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a} である。
I = R のときは a = +∞ とする。

0 ＜ d ＜ min(a, 1/C, r/(M + Cr)) となる d を選ぶ。
J = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ d} とおく。
d ＜ a であるから J ⊂ I である。

BC(J, E) を J から E への有界な連続写像全体のなすノルム空間とする。
過去スレ007の174より、BC(J, E) はBanach空間である。

B = {h ∈ BC(J, E); |h - x_0| ＜ r} とおく。
ここで、x_0 は定数写像と見なしている。

h ∈ B, μ ∈ V, t ∈ J に対して
s ∈ [t_0, t] のとき |h(s) - x_0| ≦ |h - x_0| ＜ r であるから
h(s) ∈ U(x_0, r) となり f(s, h(s), μ) が意味をもつ。
よって、このとき、
T(h, μ)(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, h(s), μ) ds とおく。

t ∈ J, μ ∈ V, g, h ∈ B のとき
|T(g, μ)(t) - T(h, μ)(t)| = |∫[t_0, t] (f(s, g(s), μ) - f(s, h(s), μ)) ds|
≦ C |t - t_0| |g - h| ≦ Cd|g - h|

よって、|T(g, μ) - T(h, μ)| ≦ Cd|g - h|
d ＜ 1/C であるから Cd ＜ 1 である。

(続く)