補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
T と X を位相空間とする。
BC(X, E) を X から E への有界な連続写像全体のなすノルム空間とする。
ここで、BC(X, E) の元 ψ のノルムは |ψ| = sup{ψ(x); x ∈ X} で与えられる。

f: T → BC(X, E) を連続写像とする。
g: T×X → E を g(t, x) = f(t)(x) により定義する。

このとき g は連続である。

証明
(t, x) を T×X の任意の点とする。
ε ＞ 0 を任意の正数とする。

f は連続だから t の近傍 V があり、
s ∈ V なら |f(s) - f(t)| ＜ ε となる。
よって、任意の z ∈ X に対して |f(s)(z) - f(t)(z)| ≦ ε となる。

f(t) ∈ BC(X, E) は連続写像だから
x の近傍 U があり任意の z ∈ U に対して |f(t)(z) - f(t)(x)| ≦ ε となる。

よって、(s, z) ∈ V×U のとき、
|f(s)(z) - f(t)(x)| ≦ |f(s)(z) - f(t)(z)| + |f(t)(z) - f(t)(x)| ≦ 2ε となる。

即ち、|g(s, z) - g(t, x)| ≦ 2ε となる。
よって、g は連続である。
証明終