補題(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
X を完備距離空間とする。
S を距離空間とする。

p を X の点とし、r ＞ 0 を実数とする。
B = {x ∈ X; d(x, p) ＜ r} とおく。
f: S×B → X を次の条件を満たす写像とする。

1) C を実数 0 ＜ C ＜ 1 とし、任意の s ∈ S と任意の x, y ∈ B に対して、
d(f(s, x), f(s, y)) ≦ C d(x, y) となる。

2) 任意の x ∈ B に対して s → f(s, x) は連続である。

3) 任意の s ∈ S に対して d(f(s, p), p) ＜ (1 - C)r

このとき、任意の s ∈ S に対して
f(s, p(s)) = p(s) となる p(s) ∈ B が一意に存在し、s → p(s) は
S から B への連続写像である。

証明
p(s) の存在と一意性は>>381による。
t ∈ S を任意にとり固定する。
2) より、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
d(s, t) ＜ δ なら d(f(s, p(t)), f(t, p(t))) ＜ ε となる。
f(t, p(t)) = p(t) であるから d(f(s, p(t)), p(t)) ＜ ε となる。

D = {x ∈ X; d(x, p(t)) ≦ ε/(1 - C)} とおく。
ε を十分小さくとれば D ⊂ B となる。
>>380 より p(s) ∈ D である。
即ち、d(p(s), p(t)) ≦ ε/(1 - C) である。
よって、s → p(s) は連続である。
証明終