補題(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
X を完備距離空間とする。
f: X → X を次の条件 (*) を満たす写像とする。

(*) K を実数 0 ＜ K ＜ 1 とし、任意の x, y ∈ X に対して、
d(f(x), f(y)) ≦ K d(x, y) となる。

このとき、縮小写像の不動点定理(>>41)より、f(q) = q となる q ∈ X が一意に存在する。

p を X の点とし d(f(p), p) = d とする。
このとき、d(p. q) ≦ d/(1 - K) である。

証明
D = {x ∈ X; d(x, p) ≦ d/(1 - K)} とおく。

>>380 より q ∈ D である。
証明終