補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
T を L(E, E) の元で |T| ＜ 1 とする。

このとき、 S = I + T + T^2 + . . . + T^n + . . . は L(E, E) において収束し、
(I - T)S = S(I - T) = I である。

証明
過去スレ014の829より、L(E, E) は完備である。

|T| ＜ 1 より、|I| + |T| + |T|^2 + . . . + |T|^n + . . . は収束する。
|T^n| ≦ |T|^n であるから、
I + T + T^2 + . . . + T^n + . . . は収束する。

(I - T)(I + T + T^2 + . . . + T^n) = I - T^(n+1)
n → +∞ とすれば (I - T)S = I である。

同様に S(I - T) = I である。
証明終