補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で I×U 上 で連続な (d_2)f が存在するとする。
ここで、(d_2)f は第２偏微分(過去スレ014の833)である。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

>>412より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 y ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, y) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, y) = y となるものが
一意に存在する。

このとき、定数 C ＞ 0 があり、任意の t ∈ J と任意の x, y ∈ V に対して
|g(t, x) - g(t, y)| ≦ exp(C|t - t_0|)|x - y|

証明
任意の t ∈ J と任意の x, y ∈ V に対して
∫[t_0, t] (dg/ds)(s, x) ds = g(t, x) - x
∫[t_0, t] (dg/ds)(s, y) ds = g(t, y) - y

一方、
(dg/ds)(s, x) = f(s, g(s, x))
(dg/ds)(s, y) = f(s, g(s, y))

よって、
g(t, x) - g(t, y) - (x - y) = ∫[t_0, t] (f(s, g(s, x)) - f(s, g(s, y))) ds

(続く)