補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で I×U 上 で連続な (d_2)f が存在するとする。
ここで、(d_2)f は第２偏微分(過去スレ014の833)である。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

このとき x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 y ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, y) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, y) = y となるものが
一意に存在する。

証明
>>386の証明より a ＞ 0, r ＞ 0, C ＞ 0, M ＞ 0 があり
I = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a}
U = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r}
とおくと、次の条件が満たされる。

1) 任意の (t, x) ∈ I×U に対して
|f(t, x)| ≦ M

2) 任意の t ∈ I と 任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y|

V = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r/2} とおく。
y を V の任意の点とする。
U(y, r/2) = {x ∈ E; |x - y| ＜ r/2} とおく。

U(y, r/2) ⊂ U であるから
任意の (t, z) ∈ I×U(y, r/2) に対して |f(t, z)| ≦ M
(続く)