命題(縮小写像の不動点定理)
X を完備距離空間とする。
f: X → X を写像とする。

k を実数 0 ≦ k ＜ 1 とし、任意の x, y ∈ X に対して、
d(f(x), f(y)) ≦ kd(x, y) とする。

このとき、f は不動点をただ一つ持つ。

証明
a_0 を X の任意の点とする。
a_(n+1) = f(a_n), n = 0, 1, . . .
とする。
d(a_n, a_(n+1)) ≦ k^nd(a_0, a_1), n = 0, 1, . . .

よって、n ＜ m のとき、
d(a_n, a_m) ≦ (k^n + . . . + k^(m-1))d(a_0, a_1)

1 + k + k2 + k3 + . . . は収束するから
点列 (a_n) はCauchy列である。
X は完備だから lim a_n = a が存在する。

d(f(x), f(y)) ≦ kd(x, y) より f は連続だから
lim f(a_n) = f(a) である。
一方、a_(n+1) = f(a_n) より、lim f(a_n) = a
よって、f(a) = a である。

f(b) = b とすると、
d(a, b) = d(f(a), f(b)) ≦ kd(a, b)
0 ≦ k ＜ 1 だから d(a, b) = 0 でなければならばい。
即ち a = b
証明終