次の補題の証明は>>386のそれとほとんど同じである。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
t_0 ∈ R, a ＞ 0 とし、I = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a} とおく。
x_0 ∈ E, r ＞ 0 とし、U = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r} とおく。

f: I×U → E を次の性質を満たす写像とする。

1) M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×U に対して
|f(t, x)| ≦ M

2) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と 任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y|

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
C^1級写像 x: J → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) x(J) ⊂ U
b) x(t_0) = x_0
c) dx/dt = f(t, x(t))

証明
0 ＜ δ ＜ min(a, 1/C, r/(M + Cr)) となる δ を選ぶ。
J = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ δ} とおく。
δ ＜ a であるから J ⊂ I である。

(続く)