>>403の修正

補題(微分版の Gronwall の不等式)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
h と g を I で連続な実数値関数とする。
さらに h は区間 (a, b) で微分可能で
(a, b) の各点 t で h’(t) ≦ g(t)h(t) とする。

このとき、全ての t ∈ I に対して、
h(t) ≦ h(a)exp(∫[a, t] g(s) ds)

証明
各 t ∈ I に対して、f(t) = exp(∫[a, t] g(s) ds) とおく。
f(a) = 1 であり、全ての t ∈ I に対して、f(t) ＞ 0 である。
さらに全ての t ∈ (a, b) に対して f’(t) = f(t)g(t) である。

よって、全ての t ∈ (a, b) に対して
(h/f)’= (h’f - f’h)/f^2 ≦ (ghf - fgh)/f^2 = 0

よって、全ての t ∈ I に対して、
h(t)/f(t) ≦ h(a)/f(a) = h(a)

即ち、全ての t ∈ I に対して、
h(t) ≦ h(a)exp(∫[a, t] g(s) ds)
証明終