補題(積分版の Gronwall の不等式)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
f と g を I で連続な実数値関数で
I の各点 t で g(t) ≧ 0 かつ
f(t) ≦ A + ∫[a, t] f(s)g(s) ds とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ A∫[a, t] g(s) ds

証明
I の各点 t で
h(t) = A + ∫[a, t] f(s)g(s) ds とおく。

I の各点 t で f(t) ≦ h(t) かつ g(t) ≧ 0 であるから
各点 t ∈ (a, b) において、
h’(t) = f(t)g(t) ≦ h(t)g(t)

>>403より、I の各点 t で
h(t) ≦ A∫[a, t] g(s) ds

I の各点 t で f(t) ≦ h(t) であるから
f(t) ≦ A∫[a, t] g(s) ds
証明終