R を実数体とする。
U を R^2 の開集合とし、f: U → R をC^2級写像とする。

過去スレ014の835より、
p ∈ U
w = (w_1, w_2) ∈ R^2 のとき、

df(p)(w) = (d_1)f(p)(w_1) + (d_2)f(p)(w_2)
である。

明らかに、
(d_1)f(p)(w_1) = (∂f/∂x)(p)w_1
(d_2)f(p)(w_2) = (∂f/∂y)(p)w_2

よって、
df(p)(w) = (∂f/∂x)(p)w_1 + (∂f/∂y)(p)w_2

この式の p を変数とみて省略すると、
df(w) = (∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2