命題(極大解の存在と一意性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で I×U 上 で連続な (d_2)f が存在するとする。
ここで、(d_2)f は第２偏微分(過去スレ014の833)である。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

このとき微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の極大解(>>397) h で
その定義域が t_0 を含み g(t_0) = x_0 となるものが一意に存在する。

証明
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解(>>395)でその定義域が t_0 を含むもの全体を
Ψ とおく。
>>386より Ψ は空でない。
g ∈ Ψ のとき g の定義域を dom(g) と書く。
J = ∪{dom(g); g ∈ Ψ} とおく。

任意の t ∈ J に対して t ∈ dom(g) となる g ∈ Ψ がある。
h(t) = g(t) とおく。
>>392より h(t) は g のとり方によらない。
h が極大解であることは明らかである。

h_1 を dx/dt = f(t, x(t)) の極大解で、その定義域が t_0 を含むものとする。
h_1 ∈ Ψ であるから dom(h_1) ⊂ J である。
>>392より dom(h_1) において h = h_1 である。
即ち h は h_1 の延長である。
h_1 は極大解であるから dom(h_1) = J となり h = h_1 である。
証明終