補題(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で I×U 上 で連続な (d_2)f が存在するとする。
ここで、(d_2)f は第２偏微分(過去スレ014の833)である。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

J_1 と J_2 を t_0 を含む開区間で I に含まれるとする。

C^1級写像 g_i: J_i → E (i = 1, 2) を
各 i =1, 2 に対して

1) g_i(t_0) = x_0
2) J_i の各点 t で dg_i/dt = f(t, g_i(t))

となる写像とする。

このとき J = J_1 ∩ J_2 の各点 t で g_1(t) = g_2(t) となる。

証明
g_1(s) ≠ g_2(s) となる s ∈ J があるとして矛盾を導く。
s ＞ t_0 として一般性を失わない。
C = {t ∈ J; t ＞ t_0 かつ g_1(t) ≠ g_2(t)} とおく。
s ∈ C だから C は空でない。
t_1 = inf C とおく。
g_1 と g_2 は連続だから C は開集合である。
よって、x は C に含まれない。

(続く)