>>386の続き

0 ＜ δ ＜ min(r, 1/C, r/(M + Cr)) となる δ を選ぶ。
J = I(t_0, δ) とおく。
ここで、I(t_0, δ) = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ δ}
δ ＜ r であるから J ⊂ I(t_0, r) である。

BC(J, E) を J から E への有界な連続写像全体のなすノルム空間とする。
過去スレ007の174より、BC(J, E) はBanach空間である。

B = {x ∈ BC(J, E); |x - x_0| ＜ r} とおく。
ここで、x_0 は定数写像と見なしている。

x ∈ B に対して t ∈ J のとき
T(x)(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x(s)) ds とおく。

T(x) は J から E への連続写像である。

s ∈ J のとき |x(s) - x_0| ≦ |x - x_0| ＜ r であるから
∫[t_0, t] f(s, x(s)) ds は意味をもつことに注意する。

|T(x)(t) - x_0| ≦ |∫[t_0, t] f(s, x(s)) ds| ≦ M|t - t_0| ≦ Mδ
よって、T(x) は BC(J, E) に属し、|T(x) - x_0| ≦ Mδ である。

t ∈ J, x, y ∈ B のとき
|T(x)(t) - T(y)(t)| = |∫[t_0, t] (f(s, x(s)) - f(s, y(s))) ds|
≦ C |t - t_0| |x - y| ≦ Cδ|x - y|

よって、|T(x) - T(y)| ≦ Cδ|x - y|
δ ＜ min(r, 1/C, r/(M + Cr)) より、Cδ ＜ 1 かつ Mδ ＜ (1 - Cδ)r
よって、>>381より、T(x) = x となる x ∈ B が一意に存在する。
(続く)