補題(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で I×U 上 で連続な (d_2)f が存在するとする。
ここで、(d_2)f は第２偏微分(過去スレ014の833)である。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

このとき U(x_0, r) ⊂ U となる r ＞ 0 と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
C^1級写像 x: J → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、U(x_0, r) = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r} である。

a) x(J) ⊂ U(x_0, r)
b) x(t_0) = x_0
c) J の各点 t で dx/dt = f(t, x(t))

証明
>>385より、r ＞ 0 と C ＞ 0 があり
任意の t ∈ I(t_0, r) と任意の x, y ∈ U(x_0, r) に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。
ここで、I(t_0, r) = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ r}
U(x_0, r) = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r}

f: I×U → E は連続写像であるから
(t_0, x_0) の R×E における近傍 W で W ⊂ I×U となるものがあり、
任意の (t, x) ∈ W に対して |f(t, x) - f(t_0, x_0)| ≦ 1 となる。
よって、M = |f(t_0, x_0)| + 1 とおけば
任意の (t, x) ∈ W に対して |f(t, x)| ≦ M となる。

I(t_0, r)×U(x_0, r) ⊂ W となるように r を十分小さくとることにより
任意の (t, x) ∈ I(t_0, r)×U(x_0, r) に対して |f(t, x)| ≦ M と仮定してよい。
(続く)