補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とし、G を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし V を F の開集合とする。
f: U×V → G を連続写像とする。
さらに U×V 上で連続な (d_2)f が存在するとする。
(a, p) を U×V の任意の点とする。

このとき
δ ＞ 0 と M ＞ 0 があり
任意の t ∈ U(a, δ) と x, y ∈ V(p, δ) に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ M|x - y| なる。

ここで、
U(a, δ) = {z ∈ E; |z - a| ＜ δ}
V(p, δ) = {z ∈ F; |z - p| ＜ δ}

証明
(d_2)f は (a, p) で連続だから、δ ＞ 0 があり
(t, x) ∈ U(a, δ)×V(p, δ) のとき |(d_2)f(t, x) - (d_2)f(a, p)| ＜ 1/2
よって、このとき |(d_2)f(t, x)| ＜ |(d_2)f(a, p)| + 1/2

M = |(d_2)f(a, p)| + 1/2 とおく。

平均値の不等式(>>62)より
このとき、任意の t ∈ U(a, δ) と x, y ∈ V(p, δ) に対して、
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ M|y - x|
証明終