補題(微分可能 → 局所Lipschitz)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
p を U の任意の点とする。

このとき δ ＞ 0 と M ＞ 0 があり
任意の x, y ∈ U(p, δ) に対して |f(x) - f(y)| ≦ M|x - y| なる。

ここで、U(p, δ) = {z ∈ E; |z - p| ＜ δ}

証明
df は p で連続だから、δ ＞ 0 があり
x ∈ U(p, δ) のとき |df(x) - df(p)| ＜ 1/2
よって、|df(x)| ＜ |df(p)| + 1/2
M = |df(p)| + 1/2 とおく。

U(p, δ) は凸開集合であるから、平均値の不等式(>>62)より本補題が得られる。
証明終