補題(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
X を完備距離空間とする。
p を X の点とし、r ＞ 0 を実数とする。
B = {x ∈ X; d(x, p) ＜ r} とおく。
f: B → X を次の条件を満たす写像とする。

1) 0 ＜ C ＜ 1 となる実数 C があり、任意の x, y ∈ B に対して、
d(f(x), f(y)) ≦ C d(x, y) となる。

2) d(f(p), p) ＜ (1 - C)r

このとき、f(x) = x となる x ∈ B が一意に存在する。

証明
最初に一意性を証明する。
f(x) = x, f(y) = y となる x, y ∈ B が存在したとする。
2) より、d(f(p), p)/(1 - C) ＜ r である。

a = max(d(x, p), d(y, p), d(f(p), p)/(1 - C)) とおく。
a ＜ r であるから a ＜ t ＜ r となる t がとれる。
E = {z ∈ X; d(z, p) ≦ t} とおく。
x, y ∈ E である。

d(f(p), p)/(1 - C) ＜ t であるから d(f(p), p) ＜ (1 - C)t である。
よって、>>380を E に適用できて x = y である。

次に f(x) = x となる x ∈ B の存在を証明する。
d(f(p), p)/(1 - C) ＜ s ＜ r となる s をとる。
D = {z ∈ X; d(z, p) ≦ s} とおく。
d(f(p), p) ＜ (1 - C)s であるから、>>380より f(x) = x となる x ∈ D がある。
D ⊂ B であるから x ∈ B である。
証明終