命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
F を K 上の有限次元ノルム空間とする。
t_0 ∈ R, a ＞ 0 とし、I = {t ∈ R; |t - t_0| ≦ a} とおく。
x_0 ∈ E, b ＞ 0 とし、B = {x ∈ E; |x - x_0| ≦ b} とおく。
μ_0 ∈ F, c ＞ 0 とし、C = {μ ∈ F; |μ - μ_0| ≦ c} とおく。

f: I×B×C → E を次の性質を満たす連続写像とする。

1) M ＞ 0 があり、任意の (t, x, μ) ∈ I×B×C に対して
|f(t, x, μ)| ≦ M

2) K ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と 任意の x, y ∈ B と 任意の μ ∈ C
に対して |f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ K|x - y|

このとき C^1級写像 x: J×C → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) x(J×C) ⊂ B
b) 任意の μ ∈ C に対して x(t_0, μ) = x_0
c) ∂x/∂t = f(t, x, μ)

ここで、J = {t ∈ R; |t - t_0| ≦ h} であり、
h は 0 ＜ h ＜ min(a, b/M, 1/K) となる任意の実数である。

証明
C(J×C, E) を J×C から E への連続関数全体のなす線型空間とする。
C(J×C, E) の元 x に対して |x| = sup{|x(t, μ)|; (t, μ) ∈ J×C} と定義する。
J×C はコンパクトであるから過去スレ009の668より、
C(J×C, E) は K 上のBanach空間となる。

(続く)