命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
t_0 ∈ R, a ＞ 0 とし、I = {t ∈ R; |t - t_0| ≦ a} とおく。
x_0 ∈ E, b ＞ 0 とし、B = {x ∈ E; |x - x_0| ≦ b} とおく。

f: I×B → E を次の性質を満たす連続写像とする。

1) M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×B に対して
|f(t, x)| ≦ M

2) K ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と 任意の x, y ∈ B に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ K|x - y|

このとき
C^1級写像 x: J → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) x(J) ⊂ B
b) x(t_0) = x_0
c) dx/dt = f(t, x)

ここで、J = {t ∈ R; |t - t_0| ≦ h} であり、
h は 0 ＜ h ＜ min(a, b/M, 1/K) となる任意の実数である。

証明
C(J, E) を J から E への連続関数全体のなす線型空間とする。
C(J, E) の元 x に対して |x| = sup{|x(t)|; t ∈ J} と定義する。
過去スレ009の668より、C(J, E) は K 上のBanach空間となる。
D = {x ∈ C(J, E); |x - x_0| ≦ Mh} とおく。
D は C(J, E) の閉集合であるから完備である。

(続く)