M を n 次元多様体とする。
X を M 上のベクトル場とする。

I = (a, b) を R の開区間とする。
ψ: I → M を C^r 級(r ≧ 1)の写像で
ψ(I) は M の座標近傍 U に含まれるとする。
(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。

U 上で X = Σξ_i(∂/∂x_i) と書ける。

x_iψ = ψ_i, i = 1, ..., n とおく。

ψ’(t)(x_i) = d(ψ_i)/dt である。
よって、
ψ’(t) = Σ(d(ψ_i)/dt)(∂/∂x_i)(ψ(t))

よって、ψ が X の積分曲線であるためには

d(ψ_i)/dt = ξ_i(ψ(t)), i = 1, ..., n

となることが必要十分である。