M を n 次元多様体とする。
ψ: R×M → M を C^r 級(r ≧ 1)の流れ(>>355)とする。
p を M の点とする。
X_p ∈ T_p(M) を X_p(f) = (df(ψ(t, p))/dt)(0) により定義する。
ここで、T_p(M) は p における M の接空間であり、
f は p のある開近傍における C^∞級の実数値関数である。

U を p ∈ U となる M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ψ は連続で ψ(0, p) = p であるから ε ＞ 0 と p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり
ψ((-ε, ε)×V) ⊂ U となる。

(-ε, ε)×V から R への写像 ψ_i, i = 1, ..., n を
ψ_i(t, q) = x_iψ(t, q)
により定義する。

q ∈ V のとき、X_q(x_i) = (dψ_i(t, q)/dt)(0)である。

ψ_i は C^r 級であるから (dψ_i(t, q)/dt)(0) は q の関数として C^(r-1) 級である。
よって、X は C^(r-1) 級のベクトル場である。

X を流れ ψ の無限小変換(infinitesimal transformation)と呼ぶ。