補題
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、
F を R 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^(r+1)級とする。

p ∈ U
h ∈ E
とし、任意の t ∈ [0, 1] に対して p + th ∈ U とする。

このとき、

∫[0, 1](1 - t)^(r-1)/(r-1)!(d^r)f(p + th)h^r dt
= (1/r!)(d^r)f(p)h^r + ∫[0, 1]((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1) dt

証明
f(t) = -(1 - t)^r/r!
g(t) = (d^r)f(p + th)h^r
とおく。
ここで、h^r = (h, ..., h) ∈ E^r である。

連続な双線型写像 B: R×F → F を (s, v) = sv により定義する。

B(f’(t), g(t)) = f’(t)g(t) = (1 - t)^(r-1)/(r-1)! (d^r)f(p + th)h^r
B(f(t), g’(t)) = f(t)g’(t) = -((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1)

よって、部分積分の公式(>>34)より本補題の等式が得られる。
証明終