補題
M を n 次元多様体とする。
X, Y ∈ X(M) (>>238), ω ∈ Ω^(p+1)(M) (>>315) に対して

d(L_X)i(Y)ω - (L_X)di(Y)ω = i(Y)(L_Xdω - dL_X(ω))

証明
>>337より、
L_X(i(Y)ω) = i(Y)L_X(ω) + i([X, Y])ω

この等式の両辺に d を作用させると

dL_X(i(Y)ω) = di(Y)L_X(ω) + di([X, Y])ω

dL_X(i(Y)ω) = di(Y)L_X(ω) + di([X, Y])ω
= dL_X(i(Y)ω) = -i(Y)dL_X(ω) + L_YL_X(ω) - i([X, Y])dω + L_[X, Y]ω ← >>349
= -i(Y)dL_X(ω) + L_XL_Y(ω) - i([X, Y])dω ← >>338

即ち、等式１： dL_X(i(Y)ω) = -i(Y)dL_X(ω) + L_XL_Y(ω) - i([X, Y])dω

他方、>>349より、
di(Y)ω = -i(Y)dω + L_Yω

この等式の両辺に L_X を作用させると

L_Xdi(Y)ω = -L_Xi(Y)dω + L_XL_Y(ω)
= -i(Y)L_Xdω - i([X, Y])dω + L_XL_Y(ω) ← >>337

この等式と 等式１を組合せて
dL_X(i(Y)ω) - L_Xdi(Y)ω = i(Y)(L_Xdω - dL_X(ω))
証明終