>>344の続き

>>343を使って、

H(ω)(fX_1, ..., X_(p+1))
= Σ[1 ＜ i](-1)^(1+j)ω([fX_1, X_i], ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))
+ Σ[1 ＜ i ＜ j](-1)^(i+j)ω([X_i, X_j], fX_1, ..., (X_i)^, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1))
= Σ[1 ＜ i](-1)^(1+i)fω([X_1, X_i], X_2, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1)))
- Σ[1 ＜ i](-1)^(1+i)X_i(f)ω(X_1, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1)))
+ Σ[1 ＜ i ＜ j](-1)^(i+j)fω([X_i, X_j], X_1, ..., (X_i)^, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1))
= fH(ω)(X_1, ..., X_(p+1))
- Σ[1 ＜ i](-1)^(1+i)X_i(f)ω(X_1, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1)))

よって、
F(ω)(fX_1, ..., X_(p+1)) = G(ω)(fX_1, ..., X_(p+1)) + H(ω)(fX_1, ..., X_(p+1))
= fG(ω)(X_1, ..., X_(p+1)) + fH(ω)(X_1, ..., X_(p+1))
= fF(ω)(fX_1, ..., X_(p+1))

同様にして、
F(ω)(X_1, ..., fX_k, ..., X_(p+1)) = fF(ω)(X_1, ..., X_k, ..., X_(p+1))

よって、F(ω) は X(M)^(p+1) から C^∞(M) への C^∞(M) 上の
多重線型形式である。

(続く)