補題
M を n 次元多様体とする。
ω ∈ Ω^p(M) (>>315) とする。
X_1, ..., X_(p+1) ∈ X(M) (>>238) に対して、

F(ω)(X_1, ..., X_(p+1)) = Σ(-1)^(i+1)X_iω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))
+ Σ[i ＜ j](-1)^(i+j)X_iω([X_i, X_j], X_1, ..., (X_i)^, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1))
とおく。
ここで２番目の Σ は i ＜ j となる組 (i, j) 全体を動く。

このとき、F(ω) は X(M)^(p+1) から C^∞(M) への C^∞(M) 上の
交代的多重線型形式である。

証明
X_1, ..., X_(p+1) ∈ X(M) (>>238) に対して、
G(ω)(X_1, ..., X_(p+1)) = Σ(-1)^(i+1)X_iω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))
H(ω)(X_1, ..., X_(p+1))
= Σ(-1)^(i+j)ω([X_i, X_j], X_1, ..., (X_i)^, ..., (X_j)^, ..., X_(p+1))
とおく。

f ∈ C^∞(M) のとき、
G(ω)(fX_1, ..., X_(p+1)) = fX_1ω(X_2, ..., X_(p+1))
+ Σ[1 ＜ i](-1)^(i+1)X_i(fω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1)))
= fX_1ω(X_2, ..., X_(p+1))
+ Σ[1 ＜ i](-1)^(i+1)X_i(f)ω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))
+ Σ[1 ＜ i](-1)^(i+1)fX_iω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))
= fG(ω)(X_1, ..., X_(p+1))
+ Σ[1 ＜ i](-1)^(i+1)X_i(f)ω(X_1, ..., (X_i)^, ..., X_(p+1))

(続く)