補題
M を n 次元多様体とする。
X と Y を M 上のベクトル場とし、f ∈ C^∞(M) とする。

このとき、
[fX, Y] = f[X, Y] - Y(f)X
[X, fY] = f[X, Y] + X(f)Y

証明
g ∈ C^∞(M) のとき、
[fX, Y]g = fXYg - Y(fXg) = fXYg - Y(f)Xg - fYXg = f[X, Y]g - Y(f)Xg
[X, fY]g = X(fYg) - fYXg = X(f)Yg + fXYg - fYXg = f[X, Y]g + X(f)Yg
証明終