命題(部分積分の公式)
R を実数体とする。
E, F を R 上のノルム空間とする。
G を R 上のBanach空間とする。
U を R の開集合とし、[a, b] ∈ U とする。
f : U → E および g : U → F はC^1級とする。

B: E×F → G を連続な双線型写像とする。

このとき、

∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt = ∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt - ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt

証明
Leibnizの公式(過去スレ014の808)より、t ∈ U のとき、
d(B(f×g))(t)(1) = B(f(t), dg(t)(1)) + B(df(t)(1), g(t))

即ち、
B(f(t), g(t))’= B(f(t), g’(t)) + B(f’(t), g(t))

両辺の [a, b] における積分をとると、

∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt = ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt + ∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt

よって、
∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt = ∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt - ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt
証明終