命題
M を n 次元多様体とする。
X と Y を M 上のベクトル場とする。

このとき、
L_[X, Y] = [L_X, L_Y]

ここで、[L_X, L_Y] は M 上のテンソル代数 T(*, *)(M) (>>233, >>237) の
微分(>>212) のブラケット積(>>221)である。

証明
f ∈ C^∞(M) のとき L_[X, Y]f = [X, Y]f および
[L_X, L_Y]f = XYf - YXf = [X, Y]f

よって、L_[X, Y]f = [L_X, L_Y]f

Z ∈ X(M) のとき、
L_[X, Y]Z = [[X, Y], Z] および
[L_X, L_Y]Z = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]]

一方、Jacobiの等式(>>217, >>218, >>221)より、
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

即ち、
[[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]]

よって、
L_[X, Y]Z = [L_X, L_Y]Z

>>275より、L_[X, Y] = [L_X, L_Y]
証明終