>>324の続き

Ω^k(U) において d^2 = 0 を証明しよう。

f ∈ C^∞(U) のとき
df = Σ(∂f/∂x_i)dx_i である。

よって、
d(df) = Σd(∂f/∂x_i)Λdx_i = Σ(∂^2f/∂x_j∂x_i)dx_jΛdx_i
ここで、
i = j のとき dx_jΛdx_i = 0

i ≠ j のとき dx_jΛdx_i = -dx_iΛdx_j かつ
∂^2f/∂x_j∂x_i = ∂^2f/∂x_i∂x_j

よって、d(df) = 0 である。

ω ∈ Ω^k(U) とする。
ω = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。

d の定義より
dω = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)

今述べたことと >>318より
d(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。

よって、
d(dω) = Σd(df_(i_1, ..., i_k))Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) = 0

(続く)