>>322の d の存在を証明しよう。

U を M の任意の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ω ∈ Ω^k(U) とする。
ω = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。
ここで、和は 1 ≦ i_1 ＜ ... ＜ i_p ≦ n となる組 (i_1, ..., i_p) 全体に
渡り、各 f_(i_1, ..., i_k) ∈ C^∞(U) である。

dω = Σdf_(i_1, ..., i_k)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と定義する。

ω ∈ Ω^p(U), θ ∈ Ω^q(U) のとき
d(ωΛθ) = dωΛθ + (-1)^pωΛdθ
を証明しよう。

ω = fdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)
θ = gdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
として証明すればよい。
ここで、f, g ∈ C^∞(U) である。
1 ≦ i_1 ＜ ... ＜ i_p ≦ n, 1 ≦ j_1 ＜ ... ＜ j_q ≦ n
である。
集合 {i_1, ..., i_p} と集合 {j_1, ..., j_q} に共通要素があれば、
d(ωΛθ) = dωΛθ + (-1)^pωΛdθ の両辺は 0 である。
よって、{i_1, ..., i_p} と {j_1, ..., j_q} に共通要素がないと仮定してよい。

ωΛθ = (fg)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
よって
d(ωΛθ) = d(fg)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= ((df)g + fdg)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= dωΛθ + f(dg)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= dωΛθ + (-1)^pωΛdθ

(続く)