>>322の d の一意性を証明しよう。

ω ∈ Ω^k(M) とする。
d と d’を>>322の条件を満たすものする。

U を M の任意の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ω|U = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。

>>318及び d^2 = 0 より、d(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。
よって、

d(ω|U) = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
である。

>>322の 1)より、
df_(i_1, ..., i_k) = d’f_(i_1, ..., i_k)
dx_i = d’x_i, i = 1, ..., n

よって、
>>318及び (d’)^2 = 0 より、d’(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。

よって、
d’(ω|U) = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
即ち、d(ω|U) = d’(ω|U)

仮定より (dω)|U = d(ω|U), (d’ω)|U = d’(ω|U)であるから
(dω)|U = (d’ω)|U

U は任意の座標近傍であるから、dω = d’ω
よって、M の任意の開集合 V に対して
d(ω|V) = d’(ω|V)
証明終