命題
M を n 次元多様体とする。
S を M 上の (1, 1) 型のテンソル場とする。
>>261より、各 p ∈ M に対して S_p : T_p(M) → T_p(M) は
R-線型写像と見なされる。
>>227より S_p は T_p(M)上のテンソル微分(>>222)に一意に拡張される。
A を M 上の (r, s) 型のテンソル場とする。
S(A)_p = S_p(A_p) とおく。
このとき、A → S(A) は M 上のテンソル微分(>>235)である。

証明
S がC^∞級であることを証明すればよい。
p を M の任意の点とし、U を p の座標近傍で (x_1, ..., x_n) を
その局所座標とする。

S_p(∂/∂x_j)_p = Σξ(i, j)(p)(∂/∂x_i)_p とおく。
ξ(i, j) は U 上で C^∞級である。

(dx_k)_p(S_p(∂/∂x_j)_p) = Σξ(i, j)(p)(dx_k)_p(∂/∂x_i)_p
= ξ(k, j)(p)

よって、
(S_p)^*(dx_k)_p = Σξ(k, j)(p)(dx_j)_p

>>224より、
S_p((dx_k)_p) = -Σξ(k, j)(p)(dx_j)_p

S((∂/∂x_(i_1))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)) =
Σ(∂/∂x_(i_1))※...※S(∂/∂x_(i_k))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)
+ Σ(∂/∂x_(i_1))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※S(dx_(j_l))※...※dx_(j_s)
よって S はC^∞級である。
証明終