>>308の続き

D が縮約と可換なことの証明が残っている。

任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
B = X_1※...※X_r※ω_1※...※ω_s とおく。

C = C(1, 1) を縮約 T(r, s)(M) → T(r-1, s-1)(M) とする。

C(B) = <X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
よって、
DC(B)
= D(<X_1, ω_1>)X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※D(X_i)※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※D(ω_j)※...※ω_s
= <D(X_1), ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ <X_1, D(ω_1)>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※D(X_i)※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※D(ω_j)※...※ω_s
= CD(B)

A を (r, s) 型のテンソル場とする。

p を M の任意の点とする。
U を p ∈ U となる M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。

>>201より、A は U 上で
ΣA(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)∂/∂x_(i_1)※...※∂/∂x_(i_r)※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)
と一意に書ける。

(続く)