>>307の続き

ω ∈ Ω(M) のときは D(ω) は最初の定義と一致する。

Y ∈ X(M) のときは ω ∈ Ω(M) に対して
D(ω)(Y) = D(ω(Y)) - ω(D(Y))
よって、
D(ω)(Y) = D(Y(ω)) - D(Y)(ω)
よって、
D(Y)(ω) = D(Y(ω)) - D(ω)(Y) = D(Y(ω)) - Y(D(ω))
よって、D(Y) は最初の定義と一致する。

A を (r, s) 型のテンソル場とし、B を (p, q) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r θ_1, ..., θ_p ∈ Ω(M)
と任意の X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q ∈ X(M) に対して

D(A※B)(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
= D(A※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q))
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., D(Y_j), ..., Y_s)
- ΣA※B(ω_1, ..., D(ω_k), ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., D(θ_l), ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)

= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
+ A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)D(B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., D(Y_j), ..., Y_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_k), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., D(θ_l), ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
= D(A)※B + A※D(B)
よって D はテンソル代数 T(*,*)(M) の微分(>>212)である。
(続く)