命題
M を n 次元多様体とする。
X ∈ X(M) に対して M 上のテンソル微分(>>235) D で

f ∈ C^∞(M) のとき D(f) = Xf
Y ∈ X(M) のとき D(Y) = [X, Y]

となるものが一意に存在する。

証明
D の一意性は>>275で証明されているので D の存在を証明すればよい。

>>277を参考にして、
ω ∈ Ω(M) のとき、
D(ω)(Y) = D(ω(Y)) - ω(D(Y))
により、D(ω) ∈ Ω(M) を定義する。

A を (r, s) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して

D(A)(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_j), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
により、(r, s) 型のテンソル場 D(A) を定義する(>>289)。

(続く)