命題
K を実数体または複素数体とする。
E, Fを K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^2級とする。

このとき、任意の p ∈ U に対して (d^2)f(p) は対称関数である。
即ち、任意の、v, w ∈ E に対して
(d^2)f(p)(v, w) = (d^2)f(p)(w, v)

証明
ψ: K^2 → E を ψ(x, y) = p + xv + yw で定義する。
e_1 と e_2 を K^2 の標準基底とする。
>>29より、
d^2(fψ)(0, 0)(e_1, e_2) = d^2f(p)(v, w)
d^2(fψ)(0, 0)(e_2, e_1) = d^2f(p)(w, v)

よって、d^2(fψ)(0, 0)(e_1, e_2) = d^2(fψ)(0, 0)(e_2, e_1) を証明すればよい。
よって、∂^2(fψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(fψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。

Hahn-Banachの定理の系(過去スレ006の755)より、
任意の連続線形写像 h: F → K に対して、
h(∂^2(fψ)/∂x∂y(0, 0)) = h(∂^2(fψ)/∂y∂x(0, 0)) を証明すればよい。

即ち、
∂^2(hfψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(hfψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。

K が実数体の場合は、これは微積分の教科書(例えば高木の解析概論)で
良く知られている。
K が複素数体の場合は、多変数複素関数論の初歩でよく知られているように、
hfψ は２変数のベキ級数に展開されるからやはりこの等式が成り立つ。
証明終