補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を２回微分可能とする。

p を U の点とし、T ∈ L(G, E) とする。
ψ: G → E を ψ(v) = p + T(v) により定義する。

このとき、v ∈ ψ^(-1)(U), (w, z) ∈ G^2 のとき、
d^2(fψ)(v)(w, z) = (d^2f(ψ(v))(T(w), T(z))

証明
v, u ∈ G のとき、
dψ(v)(u) = T(u) である。

よって、合成関数の微分法(過去スレ014の803)より、

v ∈ ψ^(-1)(U), z ∈ G のとき、
d(fψ)(v)(z) = df(ψ(v))dψ(v)(z) = df(ψ(v))T(z)

よって、

d^2(fψ)(v)(w, z) = d(d(fψ)(.)(z))(w)
= d(df(ψ(.))T(z))(v)(w)
= (d^2f(ψ(v))(T(w), T(z))

証明終