259
命題
M を n 次元多様体とする。
A を (Ω(M)^r)×(X(M)^s) からC^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。

このとき、(r, s) 型のテンソル場 B が一意に存在し、
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) = B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
となる。

ここで、B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) は>>283で定義したものである。

証明
>>259と同様であるが一応証明する。

B の一意性は>>285で証明されているので B の存在を証明すればよい。

p を M の任意の点とする。
(v_1)^*, ..., (v_r)^* を p における任意の余接ベクトルとする。

>>279より M 上の一次微分形式 ω_1, ..., ω_r が存在し、
(ω_i)_p = (v_1)^*, i = 1, ..., r となる。

w_1, ..., w_s を p における任意の接ベクトルとする。

>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_s が存在し、
(X_i)_p = w_i, i = 1, ..., s となる。

B_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s)
= A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)(p) とおく。

(続く)