補題
M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
ω を U 上の一次微分形式とする。

このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上の一次微分形式 θ が存在し、
V 上で ω = θ となる。

証明
p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。

1) 0 ≦ f ≦ 1

2) V~ 上で f = 1

3) M - W で f = 0

M 上の一次微分形式 θ を

a) x ∈ U のとき θ_x = f(x)ω_x

b) x ∈ M - W~ のとき θ_x = 0

により定義する。

x ∈ U - W~ のとき f(x) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
θ は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で ω = θ となる。
証明終