補題
M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
ω を U 上の (0, 1) 型のテンソル場、即ち１次微分形式とする。

このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上の１次微分形式θが存在し、
V 上で ω = θ となる。

証明
>>253と同様であるが念のため証明する。

p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。

1) 0 ≦ f ≦ 1
2) V~ 上で f = 1
3) M - W で f = 0

M 上の１次微分形式 θ を

a) p ∈ U のとき θ_p = f(p)ω_p

b) p ∈ M - W~ のとき θ_p = 0

により定義する。

p ∈ U - W~ のとき f(p) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
θ は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で ω = θ となる。
証明終